Matematika Barisan dan Deret

1. BARISAN ARITMATIKA
   
   U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
   U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
   
   Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1 
   
   Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                         U₁, U₂,   U₃ ............., U_n
   
   Rumus Suku ke-n :
   
   U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
   
2. DERET ARITMATIKA
   a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
   a = suku awal
   b = beda
   n = banyak suku
   U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
   Jumlah n suku
   
   Sn = 1/2 n(a+U_n)
         = 1/2 n[2a+(n-1)b]
         = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
   Keterangan:
   
   
   1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
      
   2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
      
   3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
      
   4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      
      U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.
      
   5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
   
   
3. 1. BARISAN GEOMETRI
      U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
      
      U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
      
      Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
      Rasio r = U_n / U_n-1
      Suku ke-n barisan geometri
      
      a, ar, ar² , .......ar^n-1
      U₁, U₂, U₃,......,U_n
      
      Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
      
      
   2. DERET GEOMETRI
      a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
      a = suku awal
      r = rasio
      n = banyak suku
      
      Jumlah n suku
      
      Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
            = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)
      
      Keterangan:
      
      
      1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku 
         U_n > U_n-1
      3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
         U_n < U_n-1
         Bergantian naik turun, jika r < 0
      4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                   _______      __________
         Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.   
         
      6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
         
         
   3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
      
      U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
      ¥
      å Un = a + ar + ar² .........................
      n=1 
      dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
      Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
      Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
      Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
      
      Catatan:
      
      a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
      a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
      a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r² 
      Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
      

   
   

   PENGGUNAAN

   Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

   M₀, M₁, M₂, ............., M_n

   M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

   M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

   .
   .
   .
   .

   M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀

   
   Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

   M₀, M₁, M₂, .........., M_n

   M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

   M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀      = (1 + P/100)² M₀.
   .
   .

   Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

   Keterangan :

   M₀ = Modal awalM_n = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode

   Catatan:

   Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

• Tweet
• Share
• Share
• Share
• Share