Matematika Barisan dan Deret

Sunday, February 9, 2014

| 8:14 PM

Matematika Barisan dan Deret

  1. BARISAN ARITMATIKA

    U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
    U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

    Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1 

    Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                          U1, U2,   U3 ............., Un

    Rumus     Suku ke-n :

    Un = a + (n-1)b = bn + (a-b)     ® Fungsi linier dalam n
  2. DERET ARITMATIKA
    a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
    a = suku awal
    b = beda
    n = banyak suku
    Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
    Jumlah n suku

    Sn = 1/2 n(a+Un)
          = 1/2 n[2a+(n-1)b]
          = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
    Keterangan:

    1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
    2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika       b < 0
    3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
    4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

      Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst.
    5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

    3.
    1. BARISAN GEOMETRI
      U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

      U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

      Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
      Rasio r = Un / Un-1
      Suku ke-n barisan geometri

      a, ar, ar² , .......arn-1
      U1, U2, U3,......,Un

      Suku ke n Un = arn-1       ® fungsi eksponen (dalam n)

    2. DERET GEOMETRI
      a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
      a = suku awal
      r = rasio
      n = banyak suku

      Jumlah n suku

      Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
            = a(1-rn)/1-r , jika r<1          ® Fungsi eksponen (dalam n)

      Keterangan:

      1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku 
        Un > Un-1
      3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
        Un < Un-1
        Bergantian         naik turun, jika r < 0
      4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
      5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                  _______      __________
        Ut =         Ö U1xUn    = Ö U2 X Un-1      dst.   
      6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

    3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGADeret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

      U1 + U2 + U3 + ..............................
      ¥
      å       Un = a + ar + ar² .........................
      n=1 
      dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0
      Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
      Jumlah tak berhingga    S¥ = a/(1-r)
      Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

      Catatan:

      a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................      Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
      a+ar2 +ar4+       .......                     Sganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
      a + ar3 + ar5 + ......                  Sgenap = ar / 1 -r² 
      Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

    PENGGUNAAN
    Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
    M0, M1, M2, ............., Mn
    M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
    M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
    .
    .
    .
    .
    Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0

    Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
    M0, M1, M2, .........., Mn
    M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
    M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0      = (1 + P/100)² M0.
    .
    .
    Mn = {1 + P/100}n M0
    Keterangan :
    M0 = Modal awalMn = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode
    Catatan:
    Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).
WITU

Author:

0 comments: